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Aufgabe
Ein Massenpunkt bewegt sich mit einer konstanten Winkelbeschleunigung c1 auf einer Kreisbahn vom Radius R. Wie groß muss die Winkelbeschleunigung sein, damit der Massenpunkt nach einer Umdrehung zum Stillstand kommt?
Gegeben:
\[ \ddot \phi = c_1\]
\[\tag{AB 1} \dot \phi (t=0) = \omega_0\]
\[\tag{AB 2} \phi (t=0) = \phi_0\]
Lösung
Ein Video mit der Lösung wird demnächst auf diesem Kanal veröffentlicht.
Da es sich um eine kreisförmige Bewegung mit konstantem Radius handelt, genügt hier die reduzierte Betrachtung des Drehwinkels, der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung. Durch Integration der Winkelbeschleunigung erhält man die Funktion
\[\tag{1} \int \ddot \phi dt \rightarrow \dot \phi (t) = c_1 \cdot t + c_2\]
Mit der Anfangsbedingung AB 1 kann c2 aufgelöst werden.
\[\tag{2} \dot \phi (t = 0) = \omega_0\]
\[\tag{3} c_2 = \omega_0\]
\[\tag{4} \dot \phi (t) = c_1 \cdot t + \omega_0 \]
Durch Integration der Winkelgeschwindigkeit folgt
\[\tag{5} \int \dot \phi dt \rightarrow \phi (t) = \frac{1}{2} c_1 \cdot t^2 + \omega_0 t + c_3\]
Mit der Anfangsbedingung AB 2 kann c3 aufgelöst werden.
\[\tag{6} \phi (t = 0) = \phi_0\]
\[\tag{7} c_3 = \phi_0\]
\[\tag{8} \phi (t) = \frac{1}{2} c_1 \cdot t^2 + \omega_0 t + \phi_0\]
Der Zeitpunkt, zu dem die Bewegung zum Stillstand kommt, ist momentan noch unbekannt und wird im Folgenden als T bezeichnet. Zum Zeitpunkt T hat eine vollständige Umdrehung stattgefunden
\[\tag{9} \phi (t = T) = 2 \pi\]
\[\tag{10} 2 \pi = \frac{1}{2} c_1 T^2 + \omega_0 T + \phi_0\]
und die Geschwindigkeit beträgt Null.
\[\tag{11} \dot \phi (t = T) = 0\]
\[\tag{12} 0 = c_1 T + \omega_0\]
\[\tag{13} c_1 = - \frac{\omega_0}{T}\]
Das errechnete c1 wird in Gleichung 10 eingesetzt und nach T aufgelöst.
\[\tag{14} T = \frac{2 \cdot (2 \pi - \phi_0)}{\omega_0} \]
T eingesetzt in Gleichung 13 ergibt dann die gesuchte Winkelbeschleunigung
\[\tag{15} c_1 = - \frac{\omega_0^2}{2 \cdot (2 \pi - \phi_0)} \]
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