Diese Übung zeigt, wie die Sicherheit gegen Fließen gem. Schubspannungshypothese nach TRESCA berechnet wird. Es wird die Vergleichsspannung aus den Hauptnormalspannungen berechnet und anschließend mit der Grenzspannung des Materials verglichen.
Aufgabe
Gegeben ist ein Belastungsfall mit dem Spannungstensor
S=[−1601200120800000]MPa
Die Fließgrenze für den Werkstoff beträgt σF = 650 MPa. Ist nach TRESCA eine 2-fache Sicherheit gegen Fließen gegeben?
Lösung
Die Fließbedingung nach TRESCA (Schubspannungshypothese) lautet
|τmax|!=σ02
mit
12Max[|σ1−σ2|,|σ2−σ3|,|σ1−σ3|]=σ02
Da es sich um einen ebenen Spannungszustand handelt, sind nur σ1 und σ2 zu berücksichtigen.
Die Einheiten der Spannungen werden in den folgenden Gleichungen nicht notiert, um die Lesbarkeit zu verbessern. Der Winkel der Hauptspannungen beträgt
ϕ0=arctan(2τxyσx−σy)2
ϕ0=arctan(2⋅120−160−80)2
ϕ0=−22.5°
Die Hauptspannungen sind
σ1=σx+σy2+σx−σy2⋅cos2ϕ0+τxy⋅sin2ϕ0
σ1=−160+802+−160−802⋅cos(−45°)+120⋅sin(−45°)
σ1=−210MPa
σ2=σx+σy2−σx−σy2⋅cos2ϕ0−τxy⋅sin2ϕ0
σ2=−160+802−−160−802⋅cos(−45°)−120⋅sin(−45°)
σ2=130MPa
Damit ergibt sich als maßgebliche Spannung
σ0=|−210−130|MPa=340MPa
Die Sicherheit gegen Fließen SF ist
SF=σFσ0=650MPa340MPa=1.91
Damit ist gezeigt, dass keine 2-fache Sicherheit gegen Fließen gem. Schubspannungshypothese nach TRESCA vorliegt.
