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Diese Übung zeigt, wie die Sicherheit gegen Fließen gem. Schubspannungshypothese nach TRESCA berechnet wird. Es wird die Vergleichsspannung aus den Hauptnormalspannungen berechnet und anschließend mit der Grenzspannung des Materials verglichen.
Aufgabe
Gegeben ist ein Belastungsfall mit dem Spannungstensor
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ S = \myvec{-160 & 120 & 0\\120 & 80 & 0\\0 & 0 & 0} \, MPa \]
Die Fließgrenze für den Werkstoff beträgt σF = 650 MPa. Ist nach TRESCA eine 2-fache Sicherheit gegen Fließen gegeben?
Lösung
Die Fließbedingung nach TRESCA (Schubspannungshypothese) lautet
\[ \tag{1} |\tau_{max}| \overset{!}{=} \frac{\sigma_0}{2} \]
mit
\[ \tag{2} \frac{1}{2}\,Max \left[ |\sigma_1 - \sigma_2|,|\sigma_2 - \sigma_3|,|\sigma_1 - \sigma_3| \right] = \frac{\sigma_0}{2} \]
Da es sich um einen ebenen Spannungszustand handelt, sind nur σ1 und σ2 zu berücksichtigen.
Die Einheiten der Spannungen werden in den folgenden Gleichungen nicht notiert, um die Lesbarkeit zu verbessern. Der Winkel der Hauptspannungen beträgt
\[ \tag{3} \phi_0 = \frac{arctan\left( \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x -\sigma_y} \right)}{2}\]
\[ \tag{4} \phi_0 = \frac{arctan\left( \frac{2 \cdot 120}{-160 -80} \right)}{2}\]
\[ \tag{5} \phi_0 = -22.5° \]
Die Hauptspannungen sind
\[ \tag{6} \sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \cdot cos 2 \phi_0 + \tau_{xy} \cdot sin 2 \phi_0 \]
\[ \tag{7} \sigma_1 = \frac{-160 + 80}{2} + \frac{-160-80}{2} \cdot cos (-45°) + 120 \cdot sin (-45°) \]
\[ \tag{8} \sigma_1 = -210 \, MPa \]
\[ \tag{9} \sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \cdot cos 2 \phi_0 - \tau_{xy} \cdot sin 2 \phi_0 \]
\[ \tag{10} \sigma_2 = \frac{-160 + 80}{2} - \frac{-160-80}{2} \cdot cos (-45°) - 120 \cdot sin (-45°) \]
\[ \tag{11} \sigma_2 = 130 \, MPa \]
Damit ergibt sich als maßgebliche Spannung
\[ \tag{12} \sigma_0 = |-210 - 130| \, MPa = 340 \, MPa \]
Die Sicherheit gegen Fließen SF ist
\[ \tag{13} S_F = \frac{\sigma_F}{\sigma_0} = \frac{650\,MPa}{340\,MPa} = 1.91 \]
Damit ist gezeigt, dass keine 2-fache Sicherheit gegen Fließen gem. Schubspannungshypothese nach TRESCA vorliegt.
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