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Vergleich Schubspannungs­hypothese und Gestaltänderungs­energiehypothese

In dieser Übungen wird ein Vergleich von Schubspannungshypothese und Gestaltänderungsenergiehypothese für einen ebenen Spannungszustand vorgenommen.

Aufgabe

Ein dünnwandiges Rohr wird gleichzeitig auf Zug und Torsion beansprucht. Der entsprechende Spannungstensor lautet

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

\[ S = \myvec{\sigma^* & \tau & 0\\ \tau & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \]

Stellen Sie für diesen Fall die Fließbedingungen nach TRESCA und HUBER-v.MISES auf. Gesucht ist der jeweilige Wert für σ*, dass Fließen beginnt.

Die Fließgrenze beträgt für den Werkstoff σF = 300 MPa, die Schubspannung τ = 145 MPa.

Lösung

Fließbedingung nach TRESCA, Schubspannungshypothese

In den folgenden Gleichungen wird die Einheit MPa zur besseren Lesbarkeit weggelassen. Die Vergleichsspannung nach TRESCA ist für den ebenen Spannungszustand

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

\[ \tag{1} \sigma_v = \sqrt{\left( \sigma_x -- \sigma_y \right)^2 + 4 \tau^2} \]

Die Vergleichsspannung wird mit der Fließgrenze gleichgesetzt, so dass sich folgendes ergibt:

\[ \tag{2} 300 = \sqrt{\left( \sigma^* \right)^2 + 4 \left( 145 \right)^2} \]

\[ \tag{3} \sigma^* = \sqrt(5900) = 76.8 \, MPa \]

Der Spannungszustand im Moment des Fließbeginns lautet nach TRESCA

\[ \tag{4} S = \myvec{76.8 & 145 & 0\\ 145 & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \,MPa \]

Fließbedingung nach HUBER-v.MISES, Gestaltänderungsenergiehypothese

Die Vergleichsspannung nach HUBER-v.MISES lautet für den ebenen Spannungszustand

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

\[ \tag{5} \sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x \sigma_y + 3 \tau^2} \]

Die Vergleichsspannung wird mit der Fließgrenze gleichgesetzt, so dass sich folgendes ergibt:

\[ \tag{6} 300 = \sqrt{(\sigma^*)^2-\sigma^* \cdot 0 + 63075} \]

\[ \tag{7} \sigma^* = \sqrt{26925} = 164.1 \,MPa \]

Der Spannungszustand im Moment des Fließbeginns lautet nach HUBER-v.MISES

\[ \tag{8} S = \myvec{164.1 & 145 & 0\\ 145 & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \,MPa \]

Die Schubspannungshypothese berechnet eine deutlich kleinere Versagensspannung und ist daher der konservative Ansatz.