In dieser Übungen wird ein Vergleich von Schubspannungshypothese und Gestaltänderungsenergiehypothese für einen ebenen Spannungszustand vorgenommen.
Aufgabe
Ein dünnwandiges Rohr wird gleichzeitig auf Zug und Torsion beansprucht. Der entsprechende Spannungstensor lautet
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ S = \myvec{\sigma^* & \tau & 0\\ \tau & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \]
Stellen Sie für diesen Fall die Fließbedingungen nach TRESCA und HUBER-v.MISES auf. Gesucht ist der jeweilige Wert für σ*, dass Fließen beginnt.
Die Fließgrenze beträgt für den Werkstoff σF = 300 MPa, die Schubspannung τ = 145 MPa.
Lösung
Fließbedingung nach TRESCA, Schubspannungshypothese
In den folgenden Gleichungen wird die Einheit MPa zur besseren Lesbarkeit weggelassen. Die Vergleichsspannung nach TRESCA ist für den ebenen Spannungszustand
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ \tag{1} \sigma_v = \sqrt{\left( \sigma_x - \sigma_y \right)^2 + 4 \tau^2} \]
Die Vergleichsspannung wird mit der Fließgrenze gleichgesetzt, so dass sich folgendes ergibt:
\[ \tag{2} 300 = \sqrt{\left( \sigma^* \right)^2 + 4 \left( 145 \right)^2} \]
\[ \tag{3} \sigma^* = \sqrt(5900) = 76.8 \, MPa \]
Der Spannungszustand im Moment des Fließbeginns lautet nach TRESCA
\[ \tag{4} S = \myvec{76.8 & 145 & 0\\ 145 & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \,MPa \]
Fließbedingung nach HUBER-v.MISES, Gestaltänderungsenergiehypothese
Die Vergleichsspannung nach HUBER-v.MISES lautet für den ebenen Spannungszustand
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ \tag{5} \sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x \sigma_y + 3 \tau^2} \]
Die Vergleichsspannung wird mit der Fließgrenze gleichgesetzt, so dass sich folgendes ergibt:
\[ \tag{6} 300 = \sqrt{(\sigma^*)^2-\sigma^* \cdot 0 + 63075} \]
\[ \tag{7} \sigma^* = \sqrt{26925} = 164.1 \,MPa \]
Der Spannungszustand im Moment des Fließbeginns lautet nach HUBER-v.MISES
\[ \tag{8} S = \myvec{164.1 & 145 & 0\\ 145 & 0 & 0\\0 & 0 & 0} \,MPa \]
Die Schubspannungshypothese berechnet eine deutlich kleinere Versagensspannung und ist daher der konservative Ansatz.
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