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Aufgabe
Ein Auto beschleunigt mit einer konstanten Beschleunigung von a = 2,4 m/s². Wie lange benötigt das Auto von 0 auf 100 km/h?
Lösung
Ein Video mit der Lösung wird demnächst auf diesem Kanal veröffentlicht.
Gegeben ist die zweite Ableitung von x(t), also:
\[\tag{1} \ddot x(t) = a\]
Durch einfache Integration erhält man die Funktion für die Geschwindigkeit
\[\tag{2} \int \ddot x(t) dt \xrightarrow{} \dot x(t)\]
\[\tag{3} \dot x(t) = at+c_1\]
Es gilt die Randbedingung, dass die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 gleich Null ist. Damit lässt sich die Integrationskonstante c_1 eliminieren.
\[\tag{4} \dot x(t=0) = 0\]
\[\tag{5} c_1 = 0\]
Da die Beschleunigung in m/s² angegeben ist, wird auch die Geschwindigkeit in m/s umgerechnet.
\[\tag{6} 100 km/h = \frac{ 100000m }{ 3600 s}\]
\[\tag{7} 100 km/h = \frac{ 500 m }{ 18 s}\]
Gesucht ist der Wert t, für den die Funktion die gegebene Geschwindigkeit ergibt:
\[\tag{8} \dot x(t=T) = \frac{ 500m }{ 18 s}\]
\[\tag{9} \frac{ 500m }{ 18s } = a T \]
mit 2,4 m/s² für die Beschleunigung ergibt sich
\[\tag{10} T = \frac{ 500m }{ 18s \cdot 2.4 \frac{ m }{ s^2 }} \]
\[\tag{11} T = 11.57 s \]
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