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In dieser Übung wird eine ballistische Flugbahn beim schrägen Wurf berechnet.
Aufgabe
Ein Geschütz soll unter einem vorgegebenen Winkel ein erhöhtes Ziel treffen. Wie groß muss die Mündungsgeschwindigkeit sein? Wie groß muss der Winkel für den vorliegenden Fall mindestens sein? (Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.)
Lösung
Ein Video mit der Lösung wird demnächst auf diesem Kanal veröffentlicht.
Die Beschleunigungen in Richtung x und y betragen
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{1} \ddot{x} = 0 \]
\[ \tag{2} \ddot{z} = -g \]
Durch Integration erhält man die Geschwindigkeiten
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{3} \dot{x} = c_1 \]
\[ \tag{4} \dot{z}(t) = -gt + c_2 \]
und Positionen.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{5} x(t) = c_1t + c_3 \]
\[ \tag{6} z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + c_2t + c_4\]
Die Position des Projektils zum Zeitpunkt t = 0 in x-Richtung ist gleich Null, woraus c3 errechnet werden kann.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{7} x(t=0) = 0 \]
\[ \tag{8} 0 = \bcancel{c_1t} + c_3 \]
\[ \tag{9} c_3 = 0 \]
Auch die z-Position zum Zeitpunkt t = 0 ist Null, woraus sich c4 ergibt.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{10} z(t=0) = 0 \]
\[ \tag{11} 0 = \bcancel{-\frac{1}{2}gt^2} + \bcancel{c_2t} + c_4 \]
\[ \tag{12} c_4 = 0 \]
Die Geschwindigkeit in x-Richtung zum Zeitpunkt t = 0 ist die Horizontalkomponente von v0, woraus sich c1 ergibt.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{13} \dot{x}(t=0) = v_0 \cdot cos \alpha \]
\[ \tag{14} c_1 = v_0 \cdot cos \alpha \]
\[ \tag{15} \dot{x} = v_0 \cdot cos \alpha \]
Die Geschwindigkeit in z-Richtung ist die Vertikalkomponente von v0, so dass c2 bestimmt werden kann.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{16} \dot{z}(t=0) = v_0 \cdot sin \alpha \]
\[ \tag{17} v_0 \cdot sin \alpha = \bcancel{-gt} + c_2 \]
\[ \tag{18} c_2 = v_0 \cdot sin \alpha \]
Mit den bisher bestimmten Integrationskonstanten sehen die Funktionen für die Position des Projektils nun so aus:
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{19} x(t) = v_0 \cdot cos \alpha \cdot t \]
\[ \tag{20} z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \cdot sin \alpha \cdot t\]
Der Zeitpunkt des Einschlags wird im Folgenden als T bezeichnet. Die x-Position zum Zeitpunkt t = T beträgt 2a.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{21} x(t=T) = 2a \]
\[ \tag{22} 2a = v_0 \cdot cos \alpha \cdot T \]
\[ \tag{23} T = \frac{2a}{v_0 \cdot cos \alpha} \]
Die z-Position zum Zeitpunkt T beträgt a.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{24} z(t=T) = a\]
\[ \tag{25} a = -\frac{1}{2}gT^2 + v_0 \cdot sin \alpha \cdot T\]
Das errechnete T (Gleichung 23) wird nun eingesetzt und die Gleichung kann nach v0 aufgelöst werden.
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{26} a = -\frac{1}{2}g \cdot \left( \frac{2a}{v_0 \cdot cos \alpha} \right)^2 + v_0 \cdot sin \alpha \cdot \frac{2a}{v_0 \cdot cos \alpha}\]
\[ \tag{27} a = -\frac{1}{2}g \cdot \frac{4a^2}{v_0^2 \cdot cos^2 \alpha} + sin \alpha \cdot \frac{2a}{cos \alpha}\]
\[ \tag{28} a = -\frac{1}{2}g \cdot \frac{4a^2}{v_0^2 \cdot (cos(2\alpha)+1) } + 2a \cdot tan \alpha\]
\[ \tag{29} 4a \cdot tan \alpha -2a = g \cdot \frac{4a^2}{v_0^2 \cdot (cos(2\alpha)+1) } \]
\[ \tag{30} \frac{(4a \cdot tan \alpha -2a)\cdot (cos(2\alpha)+1)}{4a^2g} = \frac{1}{v_0^2 } \]
\[ \tag{31} v_0 = \sqrt{\frac{4a^2g}{(4a \cdot tan \alpha -2a)\cdot (cos(2\alpha)+1)}} \]
Ermittlung des minimalen Winkels
Betrachtet werden die beiden geklammerten Terme unterhalb der Klammer in Gleichung 31. Sollte einer der beiden Null werden, liefert die Gleichung keine Lösung mehr. Es gilt also
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{32} 4a \cdot tan \alpha -2a > 0 \]
\[ \tag{33} \alpha > arctan \frac{1}{2} \]
\[ \tag{34} \alpha > 26.57° \]
sowie
\[ \require{cancel} \]\[ \tag{35} cos(2\alpha)+1 > 0 \]
\[ \tag{36} \alpha > \frac{arccos(-1)}{2} \]
\[ \tag{37} \alpha > 180° \]
Offenbar ist mit Gleichung 34 der minimale Winkel gefunden, während Gleichung 37 den oberen Grenzwert darstellt.
Validierung der Funktion
Nachfolgend werden zwei Diagrammplots mit den x- und y-Koordinaten des Projektils für zwei unterschiedliche Schusswinkel (45° und 60°) bei gleichen Parametern für Entfernung und Höhe abgebildet. Das Ziel ist mit einem Kreuz markiert.
Bei einem Schusswinkel von 45° trifft das Projektil im Scheitelpunkt seiner Flugbahn das Ziel.
Bei einem Schusswinkel von 60° bewegt sich das Projektil auf einer deutlich überhöhten Flugbahn und trifft das Ziel in seiner Abwärtsbewegung.
Damit ist die ballistische Flugbahn beim schrägen Wurf bestimmt und validiert.
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