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Diese Übung befasst sich mit den Schnittgrößen bei Streckenlast und behandelt folgende Fragen:
- Wie bestimmt man die Lagerreaktionen eines Trägers mit Streckenlast?
- Wie berechnet man die Schnittgrößen für einen Träger mit Streckenlast?
- Wie berechnet man das maximale Biegemoment eines gleichförmig belasteten Trägers?
Aufgabe
Ein Träger auf zwei Stützen wird durch eine gleichförmige Streckenlast q belastet. Zu ermitteln sind die Lagerreaktionen und die Beanspruchungsgrößen!
![Träger mit zwei Stützen und gleichförmiger Streckenlast](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-4-1-1024x553.png)
Lösung
Der Träger wird freigeschnitten und die Lagerreaktionen werden angetragen. Auf die Horizontalkomponente des Festlagers wird hier nicht näher eingegangen, da sie offensichtlich Null ist. Die Streckenlast q wird, auch wenn sie hier als konstant gegeben ist, als Funktion aufgefasst. Zu beachten ist die abwärts gerichtete z-Achse!
![Lagerreaktionen des Trägers](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-4-2-1024x550.png)
Ermittlung der Lagerreaktionen
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in z-Richtung sowie für die Momente:
\[ \tag{1} \sum F_x = 0 \]
\[ \tag{2} \sum F_z = 0 = - F_{Az} + \int_0^l{q(x)dx} - F_{Bz} \]
\[ \tag{3} \sum M(A) = 0 = F_{Bz} \cdot l - \int_0^l{q(x)ldx} \]
Aus Gleichung (3) folgt
\[ \tag{4} F_{Bz} = \frac{q \cdot l}{2} \]
und damit ist
\[ \tag{5} F_{Az} = \frac{q \cdot l}{2} \]
Ermittlung der Schnittgrößen
![Schnittkräfte des Trägers](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-4-3-1024x731.png)
In der o.a. Abbildung sind alle drei Schnittgrößen, also Normalkraft, Querkraft und Biegemoment angegeben. Da die Kräfte in x-Richtung Null sind, ist auch die Normalkraft Null, d.h. sie wird im Folgenden nicht weiter aufgeführt. Die Funktion der Streckenlast erhält die Ersatzkoordinate ξ.
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in z-Richtung sowie für die Momente:
\[ \tag{6} \sum F_z = 0 = - F_{Az} + \int_0^x{q(\xi)d\xi} + Q \]
\[ \tag{7} \sum M(x) = 0 = - F_{Az} \cdot x + M_b + \int_0^x{q(\xi)\cdot (x-\xi)d\xi} \]
Die bereits berechnete Lagerreaktion FAz wird in Gleichung (7) eingesetzt.
\[ \tag{8} 0 = - \frac{q \cdot l}{2} \cdot x + M_b + \int_0^x{q(\xi)\cdot (x-\xi)d\xi} \]
Das Biegemoment ergibt sich damit zu
\[ \tag{9} M_b = \frac{q \cdot l}{2} \cdot x - \left[ q \cdot (x\cdot \xi-\frac{\xi^2}{2}) \right]_0^x \]
\[ \tag{10} M_b(x) = \frac{q \cdot x}{2} \cdot (l - x) \]
Damit sind alle erforderlichen Beanspruchungsgrößen ermittelt. Das größte Biegemoment tritt bei diesem Szenario in der Mitte des Trägers auf und beträgt
\[ \tag{11} M_b(x=\frac{l}{2}) = \frac{q \cdot \frac{l}{2}}{2} \cdot (l - \frac{l}{2}) \]
\[ \tag{12} M_b(x=\frac{l}{2}) = \frac{q \cdot l^2}{8} \]
Hier kann man u.a. die Durchbiegung eines Trägers auf zwei Stützen mit gleichförmiger Streckenlast berechnen lassen.
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