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Aufgabe
An einem Raumpunkt im kartesischen Koordinatensystem ist folgender Spannungstensor gegeben:
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ S = \myvec{1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1} \cdot 100 \, Nmm^{-2} \]
Gesucht werden
a) der Spannungsvektor zu der Ebene, die durch den Normaleneinheitsvektor
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]\[ \vec{n} = \frac{1}{3} \cdot \myvec{-2\\1\\2} \]
beschrieben wird,
b) der Betrag des unter a) berechneten Spannungsvektors und
c) die Gleichung der durch den Normaleneinheitsvektor definierten Schnittebene.
Lösung
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]a) Berechnung des Spannungsvektors
Der Spannungsvektor wird mittels der Cauchy'schen Spannungsgleichung berechnet:
\[ \tag{1} \vec{S} = S \cdot \vec{n} \]
\[ \tag{2} \vec{S} = \myvec{1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1} \cdot \myvec{-2\\1\\2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 100 \, Nmm^{-2} \]
\[ \tag{3} \vec{S} = \myvec{-4\\1\\0} \cdot \frac{100}{3} Nmm^{-2} \]
Hier gibt es eine sehr gute Erklärung zur Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts.
\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]b) Betrag des Spannungsvektors
Der Betrag des Vektors folgt aus
\[ \tag{4} | \vec{S} | = \sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2} \]
\[ \tag{5} | \vec{S} | = \sqrt{-4^2+1^2+0^2} \cdot \frac{100}{3} Nmm^{-2} \]
\[ \tag{6} | \vec{S} | = 137,4 \, Nmm^{-2} \]
c) Ebenengleichung aus Normalenvektor
Die aus dem Normalenvektor abzuleitende Gleichung der Schnittebene ist allgemein
\[ \tag{7} a\cdot x + b\cdot y +c \cdot z = 0 \]
mit den Komponenten des Normalenvektors (die für den hier gegebenen Normalenvektors gegebenen 1/3 können bei der Formulierung der Ebenengleichung vernachlässigt werden)
\[ \tag{8} \vec{n} = \myvec{a\\b\\c} \cdot \bcancel{\frac{1}{3}}\]
Damit lautet die Ebenengleichung hier
\[ \tag{9} -2x + y + 2z = 0 \]
Hier gibt es eine Übersicht über viele Aufgaben und Lösungen aus der Festigkeitslehre und den anderen Gebieten der technischen Mechanik, die z.T. über diese Seite hinausgehen.
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