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Spannungsvektor und Schnittebene

Aufgabe

An einem Raumpunkt im kartesischen Koordinatensystem ist folgender Spannungstensor gegeben:

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

\[ S = \myvec{1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1} \cdot 100 \, Nmm^{-2} \]

Gesucht werden

a) der Spannungsvektor zu der Ebene, die durch den Normaleneinheitsvektor

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

\[ \vec{n} = \frac{1}{3} \cdot \myvec{-2\\1\\2} \]

beschrieben wird,

b) der Betrag des unter a) berechneten Spannungsvektors und

c) die Gleichung der durch den Normaleneinheitsvektor definierten Schnittebene.

Lösung

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

a) Berechnung des Spannungsvektors

Der Spannungsvektor wird mittels der Cauchy’schen Spannungsgleichung berechnet:

\[ \tag{1} \vec{S} = S \cdot \vec{n} \]

\[ \tag{2} \vec{S} = \myvec{1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1} \cdot \myvec{-2\\1\\2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 100 \, Nmm^{-2} \]

\[ \tag{3} \vec{S} = \myvec{-4\\1\\0} \cdot \frac{100}{3} Nmm^{-2} \]

Hier gibt es eine sehr gute Erklärung zur Berechnung des Matrix-Vektor-Produkts.

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

b) Betrag des Spannungsvektors

Der Betrag des Vektors folgt aus

\[ \tag{4} | \vec{S} | = \sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2} \]

\[ \tag{5} | \vec{S} | = \sqrt{-4^2+1^2+0^2} \cdot \frac{100}{3} Nmm^{-2} \]

\[ \tag{6} | \vec{S} | = 137,4 \, Nmm^{-2} \]

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \] \[ \require{cancel} \]

c) Ebenengleichung aus Normalenvektor

Die aus dem Normalenvektor abzuleitende Gleichung der Schnittebene ist allgemein

\[ \tag{7} a\cdot x + b\cdot y +c \cdot z = 0 \]

mit den Komponenten des Normalenvektors (die für den hier gegebenen Normalenvektors gegebenen 1/3 können bei der Formulierung der Ebenengleichung vernachlässigt werden)

\[ \tag{8} \vec{n} = \myvec{a\\b\\c} \cdot \bcancel{\frac{1}{3}}\]

Damit lautet die Ebenengleichung hier

\[ \tag{9} -2x + y + 2z = 0 \]

Normalenvektor und daraus abgeleitete Schnittebene
Normalenvektor und daraus abgeleitete Schnittebene

Hier gibt es eine Übersicht über viele Aufgaben und Lösungen aus der Festigkeitslehre und den anderen Gebieten der technischen Mechanik, die z.T. über diese Seite hinausgehen.