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Invarianten und Hauptspannungen

Diese Übung befasst sich mit Invarianten und Hauptspannungen, es werden dabei folgende Fragen behandelt:

  • Wie berechnet man die Invarianten eines Spannungstensors?
  • Wie berechnet man die Determinante eines Spannungstensors?
  • Wie berechnet man die Hauptspannungen eines Spannungstensors?
  • Wie berechnet man die Hauptspannungsrichtungen eines Spannungstensors?
  • Wie berechnet man einen Spannungsvektor?

Aufgabe

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

Für einen Raumpunkt wurde folgender Spannungstensor berechnet:

\[ S = \myvec{1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1} \, Nmm^{-2} \]

Man berechne:

a) die drei Invarianten von S

b) die drei Hauptspannungen σ1, σ2 und σ3

c) die drei Hauptspannungsrichtungen (Hauptachsensystem) sowie

d) den Spannungsvektor auf der Ebene mit

\[ \vec{n} = \frac{1}{13} \, \myvec{3\\4\\12} \]

Lösung

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \]

Vorab wird der Spannungstensor in der allgemeinen Form notiert, um bei der Berechnung der Invarianten die richtigen Werte zu erfassen.

\[ S = \myvec{\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z} \]

zu a)

Invariante 1, Spur des Spannungstensors

Die allgemeine Lösung für die Spur des Spannungstensors lautet

\[ \tag{1} I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z \]

\[ \tag{2} I_1 = (1 + 5 + 1) \, Nmm^{-2} \]

\[ \tag{3} I_1 = 7 \, Nmm^{-2} \]

Invariante 2

Die allgemeine Lösung für die Invariante 2 des Spannungstensors lautet

\[ \tag{4} I_2 = \sigma_x \cdot \sigma_y + \sigma_y \cdot \sigma_z + \sigma_x \cdot \sigma_z -\tau_{xy}^2 -- \tau_{xz}^2 -- \tau_{yz}^2\]

\[ \tag{5} I_2 = (1 \cdot 5 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 -1^2 -- 3^2 -- 1^2) \, N^2mm^{-4} \]

\[ \tag{6} I_2 = 0 \]

Invariante 3, Determinante des Spannungstensors

Die allgemeine Lösung für die Determinante des Spannungstensors lautet

\[ \tag{7} I_3 = det \,S = \sigma_x \cdot \sigma_y \cdot \sigma_z + \tau_{xy} \cdot \tau_{yz} \cdot \tau_{zx} + \tau_{xz} \cdot \tau_{yx} \cdot \tau_{zy} \, …\]

\[ … \, -- \sigma_x \cdot \tau_{yz} \cdot \tau_{zy} -- \tau_{xy} \cdot \tau_{yx} \cdot \sigma_z -- \tau_{xz} \cdot \sigma_y \cdot \tau_{zx} \]

\[ \tag{8} I_3 = (1 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \, …\]

\[ … \, -- 1 \cdot 1 \cdot 1 -- 1 \cdot 1 \cdot 1 -- 3 \cdot 5 \cdot 3)\, N^3mm^{-6} \]

\[\tag{9} I_3 = -36\, N^3mm^{-6} \]

zu b)

Berechnung der 3 Hauptspannungen

Zur Berechnung der drei Hauptspannungen wird die charakteristische Gleichung des Spannungstensors gelöst. Diese lautet:

\[\tag{10} \sigma^3 -- I_1 \cdot \sigma^2 -- I_2 \cdot \sigma -- I_3 = 0 \]

\[\tag{11} \sigma^3 -- 7\,Nmm^{-2} \cdot \sigma^2 + 36\,N^3mm^{-6} = 0 \]

Die Lösung dieser Gleichung führt zu den Hauptspannungen

\[ \tag{12} \sigma_1 = -2\, Nmm^{-2}\]

\[ \tag{13} \sigma_2 = 6\, Nmm^{-2}\]

\[ \tag{14} \sigma_3 = 3\, Nmm^{-2}\]

zu c)

Berechnung der Hauptspannungsrichtungen

Das allgemeine Gleichungssystem zur Berechnung einer Spannungsrichtung lautet, mit n als der Komponente des Normalenvektors und σ als Hauptspannung:

\[ \tag{15.I} (\sigma_x-\sigma) \cdot n_x + \tau_{xy} \cdot n_y + \tau_{xz} \cdot n_z = 0 \]

\[ \tag{15.II} \tau_{yx} \cdot n_x + (\sigma_y-\sigma) \cdot n_y + \tau_{yz} \cdot n_z = 0 \]

\[ \tag{15.III} \tau_{zx} \cdot n_x + \tau_{zy} \cdot n_y + (\sigma_z -- \sigma) \cdot n_z = 0 \]

Aufstellen der Gleichungssysteme

Die Einheit Nmm-2 wird in den nachfolgenden Gleichungssystemen nicht mit aufgeführt, um die Lesbarkeit der Gleichungen zu verbessern.

Hauptspannung σ1

Das Gleichungssystem lautet

\[ \tag{16.I} (1+2) \cdot n_{x1} + 1 \cdot n_{y1} + 3 \cdot n_{z1} = 0 \]

\[ \tag{16.II} 1 \cdot n_{x1} + (5+2) \cdot n_{y1} + 1 \cdot n_{z1} = 0 \]

\[ \tag{16.III} 3 \cdot n_{x1} + 1 \cdot n_{y1} + (1 +2) \cdot n_{z1} = 0 \]

Hieraus folgt unmittelbar

\[ \tag{17} n_{y1} = 0 \]

und aus Gleichung (16.II)

\[ \tag{18} n_{x1} + n_{z1} = 0 \]

\[ \tag{19} n_{x1} = -- n_{z1} \]

Der Betrag des Normalenvektors ist 1, also gilt:

\[ \tag{20} | \vec{n_1}| = 1 \]

\[ \tag{21} 1 = \sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2} \]

bzw. mit dem vorab berechneten ny1 und nz1

\[ \tag{21} 2 \cdot n_{x1}^2 = 1 \]

\[ \tag{22} n_{x1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ \tag{23} n_{z1} = -- \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Der Normalenvektor für die Hauptspannung 1 ist damit

\[ \tag{24} \vec{n_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\myvec{1\\0\\-1} \]

Hauptspannung σ2

Das Gleichungssystem lautet

\[ \tag{25.I} -5 \cdot n_{x2} + 1 \cdot n_{y2} + 3 \cdot n_{z2} = 0 \]

\[ \tag{25.II} 1 \cdot n_{x2} -1 \cdot n_{y2} + 1 \cdot n_{z2} = 0 \]

\[ \tag{25.III} 3 \cdot n_{x2} + 1 \cdot n_{y2} -5 \cdot n_{z2} = 0 \]

Die Vorgehensweise zur Lösung ist analog zur Berechnung der ersten Hauptspannung, daher wird sie hier nicht erneut aufgeführt. Der zweite Normalenvektor ist

\[ \tag{26} \vec{n_2} = \frac{1}{\sqrt{6}}\myvec{1\\2\\1} \]

Hauptspannung σ3

Das Gleichungssystem lautet

\[ \tag{27.I} -2 \cdot n_{x3} + 1 \cdot n_{y3} + 3 \cdot n_{z3} = 0 \]

\[ \tag{27.II} 1 \cdot n_{x3} + 2 \cdot n_{y3} + 1 \cdot n_{z3} = 0 \]

\[ \tag{27.III} 3 \cdot n_{x3} + 1 \cdot n_{y3} -2 \cdot n_{z3} = 0 \]

Auch hier wird auf eine weitere Ausführung der Lösung verzichtet, da diese analog zur Hauptspannung 1 ist. Der Normalenvektor für die dritte Hauptspannung lautet

\[ \tag{28} \vec{n_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\myvec{1\\-1\\1} \]

zu d)

Berechnung des Spannungsvektors

Der Spannungsvektor wird mittels der Cauchy’schen Spannungsgleichung berechnet:

\[ \tag{29} \vec{S} = S \cdot \vec{n} \]

\[ \tag{30} \vec{S} = \frac{1}{13} \cdot \myvec{1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1} \cdot \, \myvec{3\\4\\12} \, Nmm^{-2} \]

\[ \tag{31} \vec{S} = \frac{1}{13} \cdot \myvec{1\cdot3+1\cdot4+3\cdot12\\1\cdot3+5\cdot4+1\cdot12\\3\cdot3+1\cdot4+1\cdot12} Nmm^{-2} \]

\[ \tag{32} \vec{S} = \frac{1}{13} \cdot \myvec{43\\35\\25} Nmm^{-2} \]

Damit sind wir am Ende angekommen, alle oben gestellten Fragen sind beantwortet.

Weiterführende Informationen zur Tensorrechnung, insbesondere auch zur Berechnung von Invarianten, findet man bspw. bei Wikipedia oder auch in der Zusammenstellung von Aufgabensammlungen für die technische Mechanik.