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Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Diese Aufgabe behandelt folgende Fragen:

  • Welche Kräfte kann ein Gelenk übertragen?
  • Wie berechnet man die Lagerreaktionen eines Trägers mit Gelenk?

Hier gibt es eine Übersicht über Lagerarten, Gelenke und Führungen und deren Reaktionskräfte.

Aufgabe

Ein Träger ist einseitig fest eingespannt und über ein Gelenk mit einem Loslager verbunden. Es sollen die Lagerreaktionen in der festen Einspannung A, dem Gelenk B und im Loslager C bestimmt werden.

Träger mit fester Einspannung, Gelenk und Loslager
Träger mit fester Einspannung, Gelenk und Loslager

Lösung

Lagerreaktionen und Gelenkkräfte bestimmen - Technische Mechanik 1, Übung 16
Bestimmung der Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Der Träger wird in zwei Bereiche eingeteilt.

Einteilung des Trägers in zwei Bereiche
Einteilung des Trägers in zwei Bereiche

Anschließend werden die Bereiche freigeschnitten und die Lagerkräfte und Gelenkkräfte angetragen. Zu beachten ist, dass die Gelenkkräfte in den beiden unterschiedlichen Bereichen entgegengesetzt angetragen werden.

Freischneiden der Bereiche 1 und 2
Freischneiden der Bereiche 1 und 2
\[ \require{cancel} \] \[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}} \]

Die Bilanzen bzw. Kräfte- und Momentengleichgewichte werden für beide Bereiche separat aufgestellt.

Bereich I:

Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung ist

\[\tag{1} \sum F_x = 0 = F_{Ax} \]

Das Kräftegleichgewicht in y-Richtung ist

\[\tag{2} \sum F_y = 0 = F_{Ay} -- F_B \]

Das Momentengleichgewicht um Punkt A ist

\[\tag{3} \sum M(A) = 0 = M_A -- F_B \cdot a \]

Bereich II:

Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung ist

\[\tag{4} \sum F_x = 0 \]

Das Kräftegleichgewicht in y-Richtung ist

\[\tag{5} \sum F_y = 0 = F_B -- F + F_C \]

Das Momentengleichgewicht um Punkt B liefert

\[\tag{6} \sum M(B) = 0 = -- F \cdot a + F_C \cdot 2 \cdot a \]

\[\tag{7} F_C = \frac{F \cdot \bcancel{a}}{2\bcancel{a}} \]

Einsetzen und Auflösen

Damit folgt aus Gleichung 5 für FB

\[\tag{8} F_B = \frac{F}{2} \]

Gleichung 2 liefert

\[\tag{9} F_{Ay} = \frac{F}{2} \]

Das Moment in der festen Einspannung ergibt sich aus Gleichung 3:

\[\tag{10} M_A = \frac{F \cdot a}{2} \]