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Aufgabe
Eine Klappbrücke mit der Eigengewichtskraft G wird durch ein Seil gehalten. Das Seil wird über eine Rolle umgelenkt.
Wie groß ist die Seilkraft in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel der Klappbrücke?
Wann wird die Seilkraft obsolet?
![Klappbrücke mit Seil und Umlenkung](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2020/11/tm1-20-1024x566.jpg)
Lösung
Die Lösung beginnt mit dem Freischneiden des Systems und dem Antragen der Reaktionskräfte.
![Lösungsskizze zur Übung Nr. 20](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2020/11/tm1-20_0-1024x781.jpg)
Um die Richtung der Seilkraft S in die Kräfte- und Momentenbilanzen einfließen zu lassen, wird der Winkel β eingeführt. Damit ergibt sich für
\[ \tag{1} \sum F_x = 0 = F_{Ax} - S \cdot \cos \beta \]
\[ \tag{2} \sum F_y = 0 = F_{Ay} - G + S \cdot \sin \beta \]
Aus der Momentenbilanz kann S bestimmt werden.
\[ \tag{3} \sum M(A) = 0 = -G \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha + S \cdot l \cdot \cos \beta \cdot \sin \alpha + S \cdot l \cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha \]
\[ \tag{4} G \cdot \frac{\bcancel{l}}{2} \cdot \cos \alpha = S \cdot \bcancel{l} \cdot \left( \cos \beta \cdot \sin \alpha + \sin \beta \cdot \cos \alpha \right) \]
\[ \tag{5} S = \frac{G \cdot \cos \alpha}{2 \cdot \left( \cos \beta \cdot \sin \alpha + \sin \beta \cdot \cos \alpha \right) } \]
Dabei lässt sich Winkelfunktionen zu α und β weiter vereinfachen, so dass sich folgende Funktion ergibt:
\[ \tag{6} S = \frac{G \cdot \cos \alpha}{2 \cdot \sin \left( \alpha + \beta \right) } \]
Der Winkel β lässt sich wie folgt beschreiben:
\[ \tag{7} \beta = arctan \left( \frac{\bcancel{l}1 - \bcancel{l} \cdot \sin \alpha}{\bcancel{l} \cdot \cos \alpha} \right) \]
Die gesuchte Funktion S(α) lautet:
\[ \tag{8} S(\alpha) = \frac{G \cdot \cos \alpha}{2 \cdot \sin \left( \alpha + arctan \left( \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \right) } \]
Wann wird die Seilkraft obsolet?
Die Funktion ergibt Null, wenn der Zähler Null ergibt. Dies ist bei einem Winkel α von 90° der Fall, d.h. dort ist die Seilkraft dann obsolet.
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