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Stabwerk

In dieser Übung wird gezeigt, wie man die Stabkräfte eines Stabwerks mit dem Knotenpunktverfahren berechnen kann. Ein FEM-Tool zur Berechnung von Stabwerken ist hier zu finden.

Aufgabe

Berechnen Sie für die Lagerreaktionen und Stabkräfte für das abgebildete Stabwerk.

F = 10 kN
α = 60°
a = 2 m
Stabwerk
Stabwerk

Lösung

Lösungsvideo

Technische Mechanik 1, Übung 19 - Stabwerk
Lösungsvideo zu Übung 19 -- Stabwerk

Schriftliche Lösung

Lösungsskizze Stabwerk Übung 19
Lösungsskizze Stabwerk Übung 19

In den nachfolgenden Funktionen für die Stabkräfte werden die Winkelfunktionen nicht weiter aufgeführt, da aufgrund der geometrischen Anordnung (alle Stäbe haben einen Winkel von 45°) die bereits berechneten Ergebnisse der Winkelfunktionen in kurzer Schreibweise eingesetzt werden können.

Lagerreaktionen

Summe aller Kräfte in y-Richtung

\[\tag{1} 0=-F \sin{\left( \alpha \right) }+{F_{\mathit{By}}}+{F_{\mathit{Ay}}}\]

Summe aller Kräfte in x-Richtung

\[\tag{2} 0={F_{\mathit{Bx}}}-F \cos{\left( \alpha \right) }\]

Summe aller Momente um A

\[\tag{3} 0=-2 F a \sin{\left( \alpha \right) }+F a \cos{\left( \alpha \right) }+3 {F_{\mathit{By}}} a\]

Knoten I x

\[\tag{4} 0=\frac{{S_4}}{\sqrt{2}}+{S_1}\]

Knoten I y

\[\tag{5} 0=\frac{{S_4}}{\sqrt{2}}+{F_{\mathit{Ay}}}\]

Knoten II x

\[\tag{6} 0=\frac{{S_6}}{\sqrt{2}}+{S_2}-{S_1}\]

Knoten II y

\[\tag{7} 0=\frac{\mathit{S6}}{\sqrt{2}}+\mathit{S5}\]

Knoten III x

\[\tag{8} 0={S_3}-{S_2}\]

Knoten III y

\[\tag{9} 0={S_7}\]

Knoten IV x

\[\tag{10} 0=-\frac{{S_8}}{\sqrt{2}}-{S_3}+{F_{\mathit{Bx}}}\]

Knoten IV y

\[\tag{11} 0=\frac{{S_8}}{\sqrt{2}}+{F_{\mathit{By}}}\]

Knoten V x

\[\tag{12} 0={S_9}-\frac{{S_4}}{\sqrt{2}}\]

Knoten V y

\[\tag{13} 0=-{S_5}-\frac{{S_4}}{\sqrt{2}}\]

Knoten VI x

\[\tag{14} 0=-F \cos{\left( \alpha \right) }-{S_9}+\frac{{S_8}}{\sqrt{2}}-\frac{{S_6}}{\sqrt{2}}\]

Knoten VI y

\[\tag{15} 0=-F \sin{\left( \alpha \right) }-\frac{{S_8}}{\sqrt{2}}-{S_7}-\frac{{S_6}}{\sqrt{2}}\]

Gleichung (2) nach FBx auflösen

\[\tag{16} {F_{\mathit{Bx}}}=F \cos{\left( \alpha \right) }\]

Gleichung (9) liefert den Nullstab S7

\[\tag{17} {S_7}=0\]

Gleichung (3) nach FBy auflösen

\[\tag{18} {F_{\mathit{By}}}=\frac{2 F \sin{\left( \alpha \right) }-F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

FBy in Gleichung (1) einsetzen …

\[\tag{19} 0=\frac{2 F \sin{\left( \alpha \right) }-F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}-F \sin{\left( \alpha \right) }+{F_{\mathit{Ay}}}\]

… und nach FAy auflösen

\[\tag{20} {F_{\mathit{Ay}}}=\frac{F \sin{\left( \alpha \right) }+F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

Im Folgenden werden die bisher gelösten Kräfte in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt und die Unbekannten aufgelöst

\[\tag{21} {S_4}=-\frac{\sqrt{2} F \sin{\left( \alpha \right) }+\sqrt{2} F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{22} {S_1}=\frac{F \sin{\left( \alpha \right) }+F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{23} {S_9}=-\frac{F \sin{\left( \alpha \right) }+F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{24} {S_5}=\frac{F \sin{\left( \alpha \right) }+F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{25} {S_8}=-\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}} F \sin{\left( \alpha \right) }-\sqrt{2} F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{26} {S_3}=\frac{2 F \sin{\left( \alpha \right) }+2 F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{27} {S_6}=-\frac{\sqrt{2} F \sin{\left( \alpha \right) }+\sqrt{2} F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

\[\tag{28} {S_2}=\frac{2 F \sin{\left( \alpha \right) }+2 F \cos{\left( \alpha \right) }}{3}\]

Resultierende Stabkräfte und Lagerreaktionen

\[\tag{29} {S_1}=4.55 \mathit{kN}\]

\[\tag{30} {S_2}=9.11 \mathit{kN}\]

\[\tag{31} {S_3}=9.11 \mathit{kN}\]

\[\tag{32} {S_4}=-6.44 \mathit{kN}\]

\[\tag{33} {S_5}=4.55 \mathit{kN}\]

\[\tag{34} {S_6}=-6.44 \mathit{kN}\]

\[\tag{35} {S_7}=0.0\]

\[\tag{36} {S_8}=-5.81 \mathit{kN}\]

\[\tag{37} {S_9}=-4.55 \mathit{kN}\]

\[\tag{38} {F_{\mathit{Ay}}}=4.55 \mathit{kN}\]

\[\tag{39} {F_{\mathit{By}}}=4.11 \mathit{kN}\]

\[\tag{40} {F_{\mathit{Bx}}}=5.0 \mathit{kN}\]