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Gleichgewichtslage ermitteln

Diese Übung behandelt die folgenden Fragen:

  • Welche Kräfte treten an reibungsfreien bzw. reibungslosen Kontaktstellen auf?
  • Wie stellt man Gleichgewichtsbedingungen auf?
  • Wie berechnet man Hebelarme für Kräfte an schrägen Objekten?

Aufgabe

Ein ideal glatter Stab mit der Eigengewichtskraft G soll in einen Schlitz mit der Breite B gesteckt werden, so dass sich der dargestellte Kontakt in A und B ergibt und sich der Gleichgewichtszustand einstellt. Welche Länge l muss der Stab haben, damit er sich unter dem Winkel Alpha im Gleichgewicht befindet?

Ideal glatter Stab im Gleichgewicht
Ideal glatter Stab im Gleichgewicht

Lösung

Gleichgewichtslage eines (ideal glatten) Stabs ermitteln - Technische Mechanik 1, Übung 23
Ermittlung der Gleichgewichtslage

Die im Video gezeigte Vorgehensweise zur Lösung führt zu etwas einfacheren Schritten in der Rechnung bzw. beim Umstellen der Gleichungen.

Die Eigenschaft „ideal glatt“ führt zu den in der folgenden Skizze angetragenen Reaktionskräften.

Lösungsskizze zu Übung Nr. 23
Lösungsskizze zu Übung Nr. 23

Kräftebilanz in x-Richtung

\[\tag{1} 0={F_A} \sin{\left( \alpha \right) }-{F_B}\]

Kräftebilanz in y-Richtung

\[\tag{2} 0={F_A} \cos{\left( \alpha \right) }-G\]

Summe der Momente um Punkt A

\[\tag{3} 0=G\, \left( \frac{l \cos{\left( \alpha \right) }}{2}-b\right) -\frac{{F_B} b \sin{\left( \alpha \right) }}{\cos{\left( \alpha \right) }}\]

Auflösen nach l

\[\tag{4} l=\frac{2 {F_B} b \sin{\left( \alpha \right) }+2 G b \cos{\left( \alpha \right) }}{G\, {{\cos{\left( \alpha \right) }}^{2}}}\]

Auflösen von Gleichung 1 und 2 nach F_A und F_B

\[\tag{5} {F_B}={F_A} \sin{\left( \alpha \right) }\]

\[\tag{6} {F_A}=\frac{G}{\cos{\left( \alpha \right) }}\]

Einsetzen von F_A

\[\tag{7} {F_B}=\frac{G \sin{\left( \alpha \right) }}{\cos{\left( \alpha \right) }}\]

Einsetzen von F_B in die Gleichung 4

\[\tag{8} l=\frac{\frac{2 G b\, {{\sin{\left( \alpha \right) }}^{2}}}{\cos{\left( \alpha \right) }}+2 G b \cos{\left( \alpha \right) }}{G\, {{\cos{\left( \alpha \right) }}^{2}}}\]

vereinfacht:

\[\tag{9} l=\frac{2 b\, {{\sin{\left( \alpha \right) }}^{2}}+2 b\, {{\cos{\left( \alpha \right) }}^{2}}}{{{\cos{\left( \alpha \right) }}^{3}}}\]

alternative Schreibweise des Ergebnisses

\[\tag{10} l=\frac{2 b\, \left( {{\tan{\left( \alpha \right) }}^{2}}+1\right) }{\cos{\left( \alpha \right) }}\]

Im Hinblick auf Umformungen von Gleichungen, wie z.B. Nr. (9) oder (10) sei an dieser Stelle das Tool WolframAlpha empfohlen. In vielen Fällen kann man Terme eingeben und erhält sinnvolle Vereinfachungen oder Umformungen.