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In dieser Übung wird eine unsymmetrische Last an zwei Seilen betrachtet und folgende Fragen behandelt:
- Wie formuliert man Zwangsbedingungen in Gleichungen?
- Wie stellt man ein Kräftegleichgewicht auf?
- Wie berechnet man einen Winkel mit dem Arkustangens?
Aufgabe
Eine Last mit der Eigengewichtskraft G = 100 N soll an zwei Seilen 1 und 2 so aufgehängt werden, dass die Maße a = 2 m und h = 2 m eingehalten werden und die Kraft in Seil 1 den Wert S1= 80 N annimmt. Wie groß ist l?
![Eine Last hängt unsymmetrisch an zwei Seilen](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/02/tm1-5-1-1024x816.png)
Lösung
Die Kraft G verteilt sich auf die beiden Seilkräfte S1 und S2.
![Die Seilkräfte in den beiden Seilen](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/02/tm1-5-2-1024x828.png)
Am Verbindungspunkt der Seile entsteht ein zentrales ebenes Kräftesystem, alle Kräfte haben einen gemeinsamen Angriffspunkt. Die Seilkräfte können in ihre jeweiligen Komponenten in x- und y-Richtung zerlegt werden. (Die beiden Kräfte S1y und S2y sind der Übersichtlichkeit halber nebeneinander eingezeichnet, greifen aber auch in dem gemeinsamen Punkt an.)
![Die Kräfte am Knotenpunkt](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/02/tm1-5-3.png)
Es werden die Kräftegleichgewichte für die x- und y-Richtung aufgestellt. Hierzu werden die Seilkräfte in ihre jeweiligen Komponenten zerlegt.
\[\tag{1} \sum F_x = 0 = -S_{1x} + S_{2x} \]
\[\tag{2} \sum F_y = 0 = S_{1y} + S_{2y} - G \]
Der Winkel α lässt sich aus den gegebenen Längen h und a berechnen.
\[\tag{3} \alpha = arctan \left( \frac{h}{a} \right) = 45° \]
Mit diesem Winkel und der vorgegebenen Kraft für Seil 1 kann die x-Komponenten der Kraft in Seil 1 berechnet werden.
\[\tag{4} S_{1x} = S_1 cos \alpha \]
\[\tag{5} S_{1x} = 80 N \cdot cos 45° = 56.6 N \]
\[\tag{6} S_{2x} = S_{1x} = 56.6 N \]
Und ebenso die y-Komponente.
\[\tag{7} S_{1y} = S_1 sin \alpha \]
\[\tag{8} S_{1y} = 80 N \cdot sin 45° = 56.6 N \]
Aus Gleichung 2 ergibt sich
\[\tag{9} S_{2y} = G - S_{1y} \]
\[\tag{10} S_{2y} = 100 N - 56.6 N = 43.4 N \]
Die Kraft in Seil 2 wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
\[\tag{11} S_2 = \sqrt{S_{2x}^2 + S_{2y}^2} \]
\[\tag{12} S_2 = \sqrt{56.6^2 N^2 + 43.4^2 N^2} = 71.3 N \]
Der Winkel β ergibt sich aus
\[\tag{13} S_{2x} = S_2 cos \beta \]
\[\tag{14} \beta = arccos \left( \frac{S_{2x}}{S_2} \right) = 37.5° \]
Der Winkel β steht im Zusammenhang mit h, l und a. Hieraus kann nun die geforderte Länge l berechnet werden.
\[\tag{15} \beta = arctan \left( \frac{h}{l-a} \right) \]
\[\tag{16} tan \beta = \frac{h}{l-a} \]
\[\tag{17} l = \frac{h}{tan \beta} + a = 4.6 m \]
Damit ist der notwendige Abstand der beiden Aufhängungspunkte für die unsymmetrische Last an zwei Seilen bestimmt. Hier gibt es eine ähnliche Aufgabe mit einer symmetrischen Aufhängung einer Last.
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