CAUCHY-GREEN’scher Verzerrungstensor

Diese Übung ist Bestandteil der Aufgabensammlung Technische Mechanik II; es wird der CAUCHY-GREEN’sche Verzerrungstensor für einen gegebenen Spannungszustand bestimmt.

Aufgabe

Für einen ideal elastischen Werkstoff sei in einem Punkt S der folgende Spannungszustand gegeben:

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \] \[ \require{cancel} \]

\[ S = \myvec{4 & 2 & 0\\2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0} \cdot 100 \, Nmm^{-2} \]

Bestimmen Sie den CAUCHY-GREEN’schen Verzerrungstensor!

Lösung

Es handelt sich um einen ebenen Spannungszustand. Auch für einen ebenen Spannungszustand können Verformung in drei Richtungen auftreten. Mit den Dehnungen εx,… und Scherungen γxy,… lautet die allgemeine Form des gesuchten Verzerrungstensors:

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \] \[ \require{cancel} \]

\[\tag{1} C = \myvec{\epsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{zx}\\ \ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{zy}\\\frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{zy} & \epsilon_z} \]

Für die Dehnungen gilt

\[ \tag{2} \epsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x – \nu \left( \sigma_y + \sigma_z \right) \right] \]

\[ \tag{3} \epsilon_y = \frac{1}{E} \left[ \sigma_y – \nu \left( \sigma_x + \sigma_z \right) \right] \]

\[ \tag{4} \epsilon_z = \frac{1}{E} \left[ \sigma_z – \nu \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \right] \]

Dabei ist E der Elastizitätsmodul und ν die Querkontraktionszahl.

Die Spannungen können direkt aus S abgelesen werden, so dass sich folgende Dehnungen ergeben. (Die Einheiten für die Spannungen werden zur besseren Lesbarkeit weggelassen.)

\[ \newcommand{\myvec}[1]{{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}} \] \[ \require{cancel} \]

\[ \tag{5} \epsilon_x = \frac{400-100 \nu}{E} \]

\[ \tag{6} \epsilon_y = \frac{100-400 \nu}{E} \]

\[ \tag{7} \epsilon_z = -500 \frac{\nu}{E} \]

Für die Scherungen gilt

\[ \tag{8} \tau_{xy} = G \gamma_{xy} \]

\[ \tag{9} \tau_{xz} = G \gamma_{xz} \]

\[ \tag{10} \tau_{yz} = G \gamma_{yz} \]

mit G als Schubmodul

\[ \tag{11} G = \frac{E}{2(1+\nu)} \]

Damit ergibt sich der CAUCHY-GREEN’sche Verzerrungstensor zu

\[\tag{12} C = \myvec{\frac{400-100 \nu}{E} & \frac{200}{2G} & 0\\ \ \frac{200}{2G} & \frac{100-400 \nu}{E} & 0\\0 & 0 & -500 \frac{\nu}{E}} \]

bzw. mit (11) eingesetzt

\[\tag{13} C = \frac{1}{E} \myvec{400-100 \nu & 200+200\nu & 0\\ \ 200+200 \nu & 100-400 \nu & 0\\0 & 0 & -500 \nu} \]

Um das Ergebnis etwas greifbarer zu machen, setzen wir die Materialkennwerte von Stahl ein, E = 210000N/mm² und ν = 0,3. Das Ergebnis lautet dann

\[\tag{14} C_{Stahl} = \myvec{1.76 & 1.24 & 0\\ \ 1.24 & -0.095 & 0\\0 & 0 & 0.71} \cdot 10^{-3} \]

Das bestimmte Ergebnis erscheint plausibel.

Weitere Aufgaben aus der Festigkeitslehre sind in der Kategorie Technische Mechanik II zu finden.

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