Schnittgrößen eines Trägers mit teilweiser Streckenlast

Diese Übung ist Teil der Aufgabensammlung Technische Mechanik II und beschäftigt sich mit folgenden Fragen:

  • Wie berechnet man das resultierende Moment bei einer Streckenlast?
  • Wie berechnet man die Schnittgrößen bei einer Streckenlast?
  • Wie berechnet man einen Träger mit teilweiser Streckenlast?

Unten auf der Seite gibt es noch ein Video, in dem die Biegelinie berechnet wird.

Aufgabe

Ein einseitig fest eingespannter Stab wird auf seiner halben Länge durch die gleichförmige Streckenlast q belastet. Zu ermitteln sind die Beanspruchungsgrößen bzw. Schnittgrößen!

Träger mit fester Einspannung und teilweiser Streckenlast
Träger mit fester Einspannung und teilweiser Streckenlast

Lösung

Der Träger wird in zwei Bereiche eingeteilt. Um die Schnittgrößen berechnen zu können, müssen nicht zwangsläufig die Lagerreaktionen bestimmt werden. Dies hängt davon ab, wie die Schnitte gelegt werden, d.h. also welchen Bereich des Trägers man „abschneidet“. In der hier gezeigten Lösung werden die Schnitte so gelegt, dass die Lagerreaktionen nicht in den Kräftegleichgewichten enthalten sind. Dennoch werden die Lagerreaktionen hier, der Vollständigkeit halber, im ersten Schritt berechnet.

Freigeschnittener Träger und Einteilung der Bereiche
Freigeschnittener Träger und Einteilung der Bereiche

Die Streckenlast wird entlang der Hilfskoordinate ξ berechnet. Das Aufstellen der Kräftegleichgewichte in x- und z-Richtung sowie des Momentengleichgewichts (linksdrehende Momente positiv) führt zu:

\[ \tag{1} \sum F_x = 0 = F_{Ax} \]

\[ \tag{2} \sum F_z = 0 = F_{Az} +\int_{l}^{2l}{q\,d\xi} \]

\[ \tag{3} \sum M(A) = 0 = M_A – \int_{l}^{2l}{q \xi \,d\xi} \]

Die Lagerreaktionen der festen Einspannung lassen sich damit unmittelbar bestimmen und betragen

\[ \tag{4} F_{Ax} = 0 \]

\[ \tag{5} F_{Az} = – q \cdot l \]

\[ \tag{6} M_A = \frac{3}{2} \cdot q \cdot l^2 \]

Bestimmung der Schnittgrößen

Querkräfte werden im Folgenden als Q bezeichnet, Normalkräfte als N und Biegemomente mit Mb.

Bereich I

Schnittgrößen in Bereich I
Schnittgrößen in Bereich I

Aufstellen der Kräftegleichgewichte in x- und z-Richtung sowie des Momentengleichgewichts:

\[ \tag{7} \sum F_x = 0 = -N_I \]

\[ \tag{8} \sum F_z = 0 = -Q_I +\int_{l}^{2l}{q\,d\xi} \]

\[ \tag{9} \sum M(x) = 0 = – M_{bI} – \int_{l}^{2l}{q \cdot (\xi – x) \,d\xi} \]

Damit ergeben sich die Schnittgrößen in Bereich I zu

\[ \tag{10} N_I = 0 \]

\[ \tag{11} Q_I = q \cdot l \]

\[ \tag{12} M_{bI} = – \frac{q \cdot l}{2} \cdot \left( 2 \cdot x – 3 \cdot l \right) \]

Bereich II

Schnittgrößen in Bereich II
Schnittgrößen in Bereich II

Aufstellen der Kräftegleichgewichte in x- und z-Richtung sowie des Momentengleichgewichts:

\[ \tag{13} \sum F_x = 0 = -N_{II} \]

\[ \tag{14} \sum F_z = 0 = -Q_{II} +\int_{x}^{2l}{q\,d\xi} \]

\[ \tag{15} \sum M(x) = 0 = – M_{bII} – \int_{x}^{2l}{q \cdot (\xi – x) \,d\xi} \]

Damit ergeben sich die Schnittgrößen in Bereich II zu

\[ \tag{16} N_{II} = 0 \]

\[ \tag{14} Q_{II} = q \cdot (2\cdot l – x) \]

\[ \tag{15} M_{bII} = – q \cdot \left( \frac{x^2}{2} – 2 \cdot l \cdot x + 2 \cdot l^2 \right) \]

Damit sind alle Schnittgrößen des Trägers bestimmt.

Bestimmung der Biegelinie

Zusätzlich zu den oben geforderten Schnittgrößen wird im nachfolgenden Video gezeigt, wie die Funktionen der Biegelinie für den einseitig eingespannten Träger unter teilweiser Streckenlast ermittelt werden. Dabei wird im Video der Schwerpunkt auf die Vorgehensweise in der kostenlosen Software wxMaxima gelegt, d.h. die grundsätzlichen Zusammenhänge zur Bestimmung der Biegelinie werden als bekannt vorausgesetzt.

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