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Biegelinie eines einseitig eingespannten Trägers

In dieser Übung wird die Biegelinie für einen einseitig eingespannten Träger mit zwei entgegengesetzten Lasten entsprechend der Bernoulli-Balkenbiegung berechnet.

Aufgabe

Ein einseitig fest eingespannter Träger wird durch die entgegengesetzten Kräfte F belastet. Es ist die Biegelinie für den Träger zu bestimmen!

Einseitig eingespannter Träger mit zwei entgegengesetzten Kräften
Einseitig eingespannter Träger mit zwei entgegengesetzten Kräften

Lösung

Zur Bestimmung der Biegelinie müssen die Schnittgrößen des Trägers ermittelt werden. Dabei ist für die Biegung nur das Biegemoment relevant, d.h. in den folgenden Gleichungen werden auch nur die Momentengleichgewichte aufgestellt. Der Träger wird in zwei Bereiche eingeteilt.

Einteilung des Trägers in zwei Bereiche
Einteilung des Trägers in zwei Bereiche

Es ist in diesem Fall nicht erforderlich, die Lagerreaktionen der festen Einspannung zu ermitteln, so dass unmittelbar mit den Schnittgrößen für Bereich I begonnen werden kann.

Bestimmung der Biegemomente

Linksdrehende Momente sind im Folgenden positiv. Die Schnittgrößen werden an einem negativen Schnittufer negativ angetragen.

Bereich I

Schnittgrößen in Bereich I
Schnittgrößen in Bereich I

Die Momentenbilanz in Bereich I lautet

\[ \tag{1} \sum M(x) = 0 = -M_{bI} + F \cdot (l-x) -- F \cdot (2 \cdot l -x) \]

\[ \tag{2} M_{bI} = -- F \cdot l \]

Bereich II

Schnittgrößen in Bereich II
Schnittgrößen in Bereich II

Die Momentenbilanz in Bereich II lautet

\[ \tag{3} \sum M(x) = 0 = -M_{bII} -- F \cdot (2 \cdot l -x) \]

\[ \tag{4} M_{bI} = F \cdot x -- 2 \cdot F \cdot l \]

Biegelinien

Die Biegelinien werden auf Basis der Bernoulli-Balkenbiegung bestimmt. Der grundsätzliche Zusammenhang lautet

\[ w“ = \frac{-M_b}{E \cdot I} \]

Dabei ist w“ die zweite Ableitung der Biegelinie, E der Elastizitätsmodul und I das Flächenträgheitsmoment. Die Biegelinie w erhält man durch zweifache Integration. Daraus folgt für den vorliegenden Fall

Bereich I

\[ \tag{5} E \cdot I \cdot w“_I = F \cdot l \]

\[ \tag{6} E \cdot I \cdot w’_I = F \cdot l \cdot x + c_1\]

\[ \tag{7} E \cdot I \cdot w_I = \frac{1}{2} F \cdot l \cdot x^2 + c_1 \cdot x + c_2 \]

Bereich II

\[ \tag{8} E \cdot I \cdot w“_{II} = -- F \cdot x + 2 \cdot F \cdot l \]

\[ \tag{9} E \cdot I \cdot w’_{II} = -- \frac{1}{2} F \cdot x^2 + 2 \cdot F \cdot l \cdot x + c_3 \]

\[ \tag{10} E \cdot I \cdot w_{II} = -- \frac{1}{6} F \cdot x^3 + F \cdot l \cdot x^2 + c_3 \cdot x + c_4 \]

Um die Integrationskonstanten c1 bis c4 bestimmen zu können, müssen die Rand- und Übergangsbedingungen aufgestellt werden.

Rand- und Übergangsbedingungen

wI(x=0) = 0

Die Durchbiegung an der Stelle x = 0 ist gleich Null.

\[ \require{cancel} \]

\[ \tag{11} 0 = \frac{1}{E \cdot I} \left( \bcancel{\frac{1}{2}F \cdot l \cdot 0^2} + \bcancel{c_1 \cdot 0} + c_2 \right) \]

\[ \tag{12} c_2 = 0 \]

w‘I(x=0) = 0

Der Winkel an der Stelle x = 0 ist gleich Null.

\[ \require{cancel} \]

\[ \tag{13} 0 = \frac{1}{E \cdot I} \left(\bcancel{ F \cdot l \cdot 0} + c_1 \right) \]

\[ \tag{14} c_1 = 0 \]

wI(x=l) = wII(x=l)

Die Durchbiegung der beiden Biegelinien an der Stelle x = l ist gleich groß.

\[ \require{cancel} \]

\[ \tag{15} \frac{1}{2} F \cdot l \cdot l^2 + \bcancel{c_1 \cdot l} + \bcancel{c_2} = -- \frac{1}{6} F \cdot l^3 + F \cdot l \cdot l^2 + c_3 \cdot l + c_4 \]

\[ \tag{16} \frac{1}{2} F \cdot l^3 = \frac{5}{6} F \cdot l^3 + c_3 \cdot l + c_4 \]

w‘I(x=l) = w‘II(x=l)

Der Winkel der beiden Biegelinien an der Stelle x = l ist gleich groß.

\[ \require{cancel} \]

\[ \tag{17} F \cdot l \cdot l + \bcancel{c_1} = -- \frac{1}{2} F \cdot l^2 + 2 \cdot F \cdot l \cdot l + c_3 \]

Aus diesem Zusammenhang kann die Integrationskonstante c3 aufgelöst werden.

\[ \tag{18} c_3 = -\frac{1}{2}F \cdot l^2 \]

Und schlussendlich c4:

\[ \tag{19} \frac{1}{2} F \cdot l^3 = \frac{5}{6} F \cdot l^3 -- \frac{1}{2}F \cdot l^3 + c_4 \]

\[ \tag{20} c_4 = \frac{1}{6}F \cdot l^3 \]

Die Gleichungen der Biegelinien lauten damit also

\[ \tag{21} w_I = \frac{1}{2 E \cdot I} F \cdot l \cdot x^2 \]

\[ \tag{22} w_{II} = \frac{F}{E \cdot I} \left( -- \frac{1}{6} x^3 + l \cdot x^2 -\frac{1}{2} l^2 \cdot x + \frac{1}{6} l^3 \right) \]