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Kraft und Winkel bei einer gegebenen Resultierenden ermitteln

In dieser Übung werden folgende Fragen behandelt:

  • Wie ermittle ich Kraft und Richtung einer fehlenden Größe, wenn die resultierende Kraft vorgegeben ist?
  • Wie löst man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (bzw. ein einfaches Gleichungssystem)?
  • Wie bestimme ich den Winkel einer Kraft?

Aufgabe

Ein Schiff wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 zieht mit F1 = 7 kN, Schlepper 2 mit F2 = 6 kN. Für Schlepper 3 wird sowohl die Kraft als auch der Winkel für den Fall gesucht, dass die resultierende Kraft 10 kN in x-Richtung beträgt.

Schlepper mit Zugkräften
Schlepper mit Zugkräften, Betrag und Richtung für Kraft 3 sind zu bestimmen

Lösung

Technische Mechanik 1, Übung 2 - Kraft und Winkel bei einer gegebenen Resultierenden ermitteln
Lösungsvideo zur Berechnung von Kraft und Richtung von F3

Die Randbedingungen zur Lösung lauten: die Summe aller Kräfte in x-Richtung beträgt 10 kN, die Summe aller Kräfte in y-Richtung beträgt Null. Der Winkel von F3 wird hierbei erst einmal so wie in der Skizze angenommen.

\[\tag{1} \sum F_x= 10 kN = F_1\cos(60°)+F_2\cos(45°)+F_3\cos(\alpha)\]

\[\tag{2} \sum F_y= 0 = F_1\sin(60°)-F_2\sin(45°)+F_3\sin(\alpha)\]

Gleichung 1 wird nach F3 aufgelöst und in Gleichung 2 eingesetzt.

\[\tag{3} F_3= \frac{10 kN -- F_1\cos(60°) -- F_2\cos(45°)}{\cos(\alpha)}\]

\[\tag{4} 0 = F_1\sin(60°)-F_2\sin(45°)+\frac{10 kN -- F_1\cos(60°) -- F_2\cos(45°)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha) \]

Gleichung 4 wird aufgelöst nach

\[\tag{5} \alpha = \arctan\left(\frac{F_2\sin(45°)-F_1\sin(60°)}{10 kN -- F_1\cos(60°) -- F_2\cos(45°)}\right) \]

\[\tag{6} \alpha = -38.87° \]

und die gesuchte Kraft ergibt sich zu

\[\tag{7} F_3 = 2.9 kN \]

Damit sind Kraft und Winkel bestimmt, um die gewünschte resultierende Zugrichtung zu erreichen. Es zeigt sich, dass der Winkel für Schlepper 3 auf der gegenüberliegenden Seite der x-Achse liegen muss. Die getroffene Annahme für den Winkel ist also falsch, was aber die Berechnung nicht beeinträchtigt.

Hätte man den Winkel gleich unterhalb der x-Achse angetragen, hätte man einen positiven Wert für den Winkel erhalten.

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