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Auto auf abschüssiger Straße

Aufgabe

Ein Auto steht mit angezogener Handbremse auf einer abschüssigen Straße. Die Handbremse wirkt hierbei auf die Hinterräder. Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient mindestens sein, damit das Auto nicht ins Rutschen gerät?

Auto mit angezogener Handbremse auf abschüssiger Straße. Gesucht ist der erforderliche Haftreibungskoeffizient, damit das Auto nicht rutscht.
Auto auf abschüssiger Straße

Lösung

Technische Mechanik 1, Übung 25 - erforderlichen Haftreibungskoeffizienten berechnen
Hier wird die Aufgabe vorgerechnet
Kräfte an den Rädern des Autos. Da die Handbremse nur auf die Hinterräder wirkt, ist dort auch die Horizontalkraft (im gedrehten Koordinatensystem) angetragen.
Lösungsskizze zu Aufgabe Nr. 25

Kräftebilanz in x-Richtung

\[\tag{1} 0={F_{\mathit{Bx}}}-G \sin{\left( \alpha \right) }\]

Kräftebilanz in y-Richtung

\[\tag{2} 0=-G \cos{\left( \alpha \right) }+{F_{\mathit{By}}}+{F_A}\]

Summe der Momente um A (linksdrehende Momente positiv)

\[\tag{3} 0=G a \sin{\left( \alpha \right) }-G b \cos{\left( \alpha \right) }+{F_{\mathit{By}}} \left( c+b\right) \]

Zusammenhang zwischen Tangential- und Normalkraft am Hinterrad

\[\tag{4} {F_{\mathit{Bx}}}={F_{\mathit{By}}} {µ_0}\]

Auflösen nach F_By und in die Momentenbilanz einsetzen

\[\tag{5} {F_{\mathit{By}}}=\frac{{F_{\mathit{Bx}}}}{{µ_0}}\]

\[\tag{6} 0=G a \sin{\left( \alpha \right) }-G b \cos{\left( \alpha \right) }+\frac{{F_{\mathit{Bx}}} \left( c+b\right) }{{µ_0}}\]

Gleichung 1 auflösen nach F_Bx und in das vorige Ergebnis einsetzen

\[\tag{7} {F_{\mathit{Bx}}}=G \sin{\left( \alpha \right) }\]

\[\tag{8} 0=\frac{G\, \left( c+b\right) \sin{\left( \alpha \right) }}{{µ_0}}+G a \sin{\left( \alpha \right) }-G b \cos{\left( \alpha \right) }\]

der Mindestwert für die Haftreibung beträgt

\[\tag{9} {µ_0}=\frac{\left( c+b\right) \sin{\left( \alpha \right) }}{b \cos{\left( \alpha \right) -}a \sin{\left( \alpha \right) }}\]

Es ist offensichtlich, dass die Gewichtskraft bei der Berechnung des erforderlichen Haftreibungskoeffizienten keine Rolle spielt, d.h. eine Diskussion der Verteilung der Gewichtskraft auf mehrere Räder pro Achse ist überflüssig.

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