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In dieser Übung wird gezeigt, wie der Schwerpunkt zusammengesetzter Körper berechnet wird.
Aufgabe
Für den abgebildeten Körper soll der Schwerpunkt berechnet werden. Der Körper besteht aus zwei Einzelkörpern unterschiedlichen Materials.
Gegeben:
a = 30 mm, b = 25 mm, c = 60 mm, d = 30 mm, e = 50 mm
Körper 1 besteht aus Stahl mit einer Dichte von ρ = 7.850 kg/m³,
Körper 2 besteht aus Aluminium mit einer Dichte von ρ = 2.660 kg/m³.
Ein Hinweis zur Projektionsrichtung: ein Kreis mit einem Mittelpunkt kennzeichnet eine Koordinatenachse, die auf den Betrachter zeigt. Ein Kreis mit einem Kreuz ist eine Koordinatenachse, die vom Betrachter weg zeigt.
Lösung
\[ \require{cancel} \]Die Gleichung zur Berechnung der Schwerpunktkoordinate lautet, hier exemplarisch für xS notiert:
\[ \tag{1} x_S = \frac{\sum \rho_i \cdot V_i \cdot x_i}{\sum \rho_i \cdot V_i} \]
Die Werte der Einzelkörper werden in einer Tabelle erfasst
| \[ i \] | \[ V_i \] | \[ x_i \] | \[ y_i \] | \[ z_i \] | \[ \rho_i \] | \[ \rho_i \cdot V_i \] | \[ \rho_i \cdot V_i \cdot x_i \] | \[ \rho_i \cdot V_i \cdot y_i \] | \[ \rho_i \cdot V_i \cdot z_i \] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \[ {mm}^3 \] | \[ mm \] | \[ mm \] | \[ mm \] | \[ 10^{-6}kg/{mm}^3 \] | \[ kg \] | \[ kgmm \] | \[ kgmm \] | \[ kgmm \] | |
| 1 | 54.000 | -15 | -15 | 0 | 7,85 | 0,424 | -6,359 | -6,359 | 0 |
| 2 | 75.000 | 12,5 | -5 | 0 | 2,66 | 0,2 | 2,494 | -0,998 | 0 |
| \[ \sum \] | 0,624 | -3,865 | -7,357 | 0 |
Damit ergeben sich folgende Schwerpunktkoordinaten:
\[ \tag{2} x_S = \frac{-3.865 kg\,mm}{0.624kg} = -6.2\,mm \]
\[ \tag{3} y_S = \frac{-7.357 kg\,mm}{0.624kg} = -11.8\,mm \]
\[ \tag{4} z_S = \frac{0 kg\,mm}{0.624kg} = 0\,mm \]
Damit ist der Schwerpunkt des zusammengesetzten Körpers bestimmt.
Weitere Aufgaben zum Thema Schwerpunkt gibt es unter dem Schlagwort Schwerpunkt.
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