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Diese Übung beschäftigt sich mit den Schnittgrößen eines abgewinkelten Trägers und behandelt folgende Fragen:
- Wie ermittelt man die Beanspruchungsgrößen eines Trägers?
- Wie teilt man einen Träger in verschiedene Bereiche ein?
- Wie stellt man die Schnittkräfte grafisch dar?
- Wie stellt man den Verlauf des Biegemoments grafisch dar?
Aufgabe
Ein abgewinkelter Träger mit Festlager und Loslager wird durch die Kraft F belastet. Zu ermitteln sind die inneren Kräfte (Schnittgrößen) des Trägers!
![Abgewinkelter Träger auf zwei Stützen](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-1-1024x545.png)
Lösung
Zur Berechnung der inneren Kräfte des Trägers werden die Lagerreaktionen ermittelt und der Träger wird in drei Bereiche eingeteilt. Die Querkräfte werden im Folgenden mit Q bezeichnet, die Normalkräfte mit N und das Biegemoment mit Mb. Linksdrehende Momente sind positiv.
![Lagerreaktionen und Einteilung des Trägers](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-2-1024x691.png)
Ermittlung der Lagerreaktionen
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in x-und z-Richtung sowie für die Momente
Zu beachten ist die abwärts gerichtete z-Achse!
\[ \tag{1} \sum F_x = 0 = -F_{Bx} \]
\[ \tag{2} \sum F_z = 0 = - F_{Az} + F - F_{Bz} \]
\[ \tag{3} \sum M(A) = 0 = - F \cdot a + F_{Bz} \cdot 2a + F_{Bx} \cdot a \]
Daraus folgt
\[ \tag{4} F_{Bx} = 0 \]
\[ \tag{5} F_{Bz} = \frac{F}{2} \]
\[ \tag{6} F_{Az} = \frac{F}{2} \]
Ermittlung der Schnittgrößen in Bereich I
![Schnittgrößen in Bereich I](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-3-1024x693.png)
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in x-und z-Richtung sowie für die Momente
\[ \tag{7} \sum F_x = 0 = -N_I -F_{Bx}\]
\[ \tag{8} \sum F_z = 0 = -Q_I + F - F_{Bz} \]
\[ \tag{9} \sum M(x) = 0 = -M_{bI} - F \cdot (a-x) + \bcancel{F_{Bx} \cdot a} + F_{Bz} \cdot (2a - x)\]
Mit den bereits berechneten Lagerreaktionen ergeben sich die Schnittgrößen zu
\[ \tag{10} N_I = 0 \]
\[ \tag{11} Q_I = \frac{F}{2} \]
\[ \tag{12} M_{bI} = \frac{F}{2} \cdot x \]
Ermittlung der Schnittgrößen in Bereich II
![Schnittgrößen in Bereich II](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-4-1024x691.png)
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in x-und z-Richtung sowie für die Momente
\[ \tag{13} \sum F_x = 0 = -N_{II} - F_{Bx}\]
\[ \tag{14} \sum F_z = 0 = -Q_{II} - F_{Bz} \]
\[ \tag{15} \sum M(x) = 0 = - M_{bII} + \bcancel{F_{Bx} \cdot a} + F_{Bz} \cdot (2a - x) \]
Auch diese Schnittgrößen lassen sich nach Einsetzen der Lagerreaktionen in B auflösen zu
\[ \tag{16} N_{II} = 0 \]
\[ \tag{17} Q_{II} = - \frac{F}{2} \]
\[ \tag{18} M_{bII} = \frac{F}{2} \cdot (2a - x) \]
Ermittlung der Schnittgrößen in Bereich III
![Schnittgrößen in Bereich III](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-5-919x1024.png)
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in x-und z-Richtung sowie für die Momente
\[ \tag{19} \sum F_x = 0 = -F_{Bx} + Q_{III}\]
\[ \tag{20} \sum F_z = 0 = N_{III} - F_{Bz} \]
\[ \tag{21} \sum M(z) = 0 = M_{bIII} + \bcancel{F_{Bx} \cdot (z-a)} \]
Die Schnittgrößen des dritten Abschnitts ergeben sich zu
\[ \tag{22} N_{III} = \frac{F}{2} \]
\[ \tag{23} Q_{III} = 0 \]
\[ \tag{24} M_{bIII} = 0 \]
Damit sind alle Schnittgrößen des abgewinkelten Trägers bestimmt.
Grafische Darstellung der Schnittgrößen
Die grafische Darstellung der Verläufe der Normalkraft, der Querkraft und des Biegemoments sieht folgendermaßen aus:
![Grafische Darstellung des Kraft- und Momentenverlaufs](https://pickedshares.com/wp-content/uploads/2021/01/tm2-3-6-1024x690.png)
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